Το θεώρημα “SHIP-DOCK”. Καμία ποσότητα εμπειρικών ενδείξεων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την απόδειξη. (IAN STEWART)

Το θεώρημα “SHIP-DOCK”. Καμία ποσότητα εμπειρικών ενδείξεων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την απόδειξη. (IAN STEWART)

Οι μαθηματικοί είναι «αποδειξιομανείς»: ανεξάρτητα με το πόσες ενδείξεις υπάρχουν για να υποστηρίξουν μια μαθηματική πρόταση, ο πραγματικός μαθηματικός δεν είναι ικανοποιημένος μέχρι αυτή η πρόταση να αποδειχθεί. Κι αυτό, με πλήρη λογική αυστηρότητα καθιστώντας τα πάντα ακριβή και σαφή. Υπάρχει ένας καλός λόγος γι’ αυτό. Μια απόδειξη παρέχει την ατράνταχτη εγγύηση ότι μια ιδέα είναι σωστή. Καμιά ποσότητα εμπειρικών ενδείξεων δεν μπορεί να την υποκαταστήσει. Ας δούμε μια απόδειξη και πώς διαφέρει από άλλες μορφές ενδείξεων. Δεν θέλω να χρησιμοποιήσω κάτι που περιλαμβάνει τεχνικά μαθηματικά, γιατί τότε θα επισκιαστούν οι βασικές ιδέες. Η αγαπημένη μου μη-τεχνική απόδειξη είναι το θεώρημα «SHIP-DOCK», που έχει να κάνει με τα λογοπαίγνια στα οποία πρέπει να μετατρέψεις μια λέξη σε μια άλλη μέσω μιας αλληλουχίας κινήσεων:

CΑΤ,

COT,

COG,

DOG.

Σε κάθε βήμα, επιτρέπεται να αλλάξεις (αλλά όχι να μετακινήσεις) ένα μόνο γράμμα, και το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μια δόκιμη λέξη (που να υπάρχει, ας πούμε, στο λεξικό) . Το να λύσεις το γρίφο δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο: για παράδειγμα,

SHIP

SHOP

SHOT

SLOT

SOOT

LOOT

LOOK

LOCK

DOCK

Υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις. Όμως, δεν με απασχολεί η λύση αυτή καθαυτή, ούτε οι διαφορετικές λύσεις˙ με ενδιαφέρει κάτι που έχει εφαρμογή σε κάθε λύση. Συγκεκριμένα, ότι σε κάθε στάδιο, πρέπει να υπάρχει μια λέξη που περιλαμβάνει δύο φωνήεντα. Όπως το SOOΤ (και το LOOT και το LOOΚ) στη συγκεκριμένη απάντηση. Και εννοώ ακριβώς δύο φωνήεντα, ούτε περισσότερα ούτε λιγότερα. Για να αποφύγω ενστάσεις, ας ξεκαθαρίσω τι σημαίνει «φωνήεν» σ’ αυτή την περίπτωση.

Το ακανθώδες ζήτημα είναι το γράμμα Υ. Στη λέξη YARD το Υ είναι σύμφωνο, αλλά στη λέξη WILLY είναι φωνήεν. Ομοίως, το W στο CWMS λειτουργεί ως φωνήεν: το «cwm» είναι ουαλική λέξη και αναφέρεται σε έναν γεωλογικό σχηματισμό για τον οποίο δεν υπάρχει λέξη στα αγγλικά, παρ’ ότι οι λέξεις «corrie» (στα σκοτσέζικα) και «cirque» (στα γαλλικά) είναι εναλλακτικές του. Χρειάζεται να είμαστε πολύ προσεκτικοί με τα γράμματα που σε ορισμένες περιπτώσεις λειτουργούν ως φωνήεντα και σε άλλες ως σύμφωνα. Για την ακρίβεια, ο πιο ασφαλής τρόπος να αποφύγει κανείς αυτό το είδος λέξεων που αγαπούν οι παίκτες του Scrabble είναι να πετάξει το λεξικό και να επαναπροσδιορίσει το «φωνήεν» και τη «λέξη» με πιο περιορισμένη έννοια. Για τις ανάγκες αυτής της συζήτησης, ένα «φωνήεν» είναι ένα από τα γράμματα Α, Ε, Ι, Ο, U και μια «λέξη» θα πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από αυτά τα πέντε γράμματα. Ως εναλλακτική λύση, μπορούμε να ορίσουμε ότι το Υ και το W θα λογίζονται πάντα ως φωνήεντα, ακόμα και όταν χρησιμοποιούνται ως σύμφωνα.

Αυτό που δεν μπορούμε να κάνουμε, σ’ αυτό το πλαίσιο, είναι να επιτρέψουμε τα γράμματα να χρησιμοποιούνται άλλοτε ως φωνήεντα και άλλοτε ως σύμφωνα. Θα επιστρέψω σ’ αυτό αργότερα. Δεν τίθεται θέμα για το ποια είναι η ορθή σύμβαση στη γλωσσολογία. Εδώ διαμορφώνω μια προσωρινή σύμβαση για ένα συγκεκριμένο μαθηματικό σκοπό. Κάποιες φορές στα μαθηματικά, ο καλύτερος τρόπος για να προχωρήσεις είναι να εισαγάγεις απλουστεύσεις, κι αυτό κάνω κι εγώ εδώ. Οι απλουστεύσεις δεν είναι ισχυρισμοί για τον έξω κόσμο, είναι τρόποι για να περιορίσουμε το πεδίο συζήτησης, να το διατηρήσουμε εύχρηστο. Μια περισσότερο πολύπλοκη ανάλυση θα μπορούσε πιθανόν να χειριστεί και τα ιδιαίτερα γράμματα όπως το Υ, αυτό όμως θα περιέπλεκε πολύ την ιστορία σε σχέση με τον τωρινό σκοπό μου.

Δεδομένου αυτού του περιορισμού, άραγε έχω δίκιο; Άραγε, είναι αλήθεια ότι κάθε λύση του γρίφου SΗΙΡ-DOCK περιλαμβάνει μια λέξη (με τη νέα περιορισμένη έννοια) με ακριβώς δύο φωνήεντα (με τη νέα περιορισμένη έννοια); Ένας τρόπος να το ερευνήσουμε είναι να αναζητήσουμε άλλες λύσεις όπως:

SHIP

CHIP

CHOP

COOP

COOT

ROOT

ROOK

ROCK

DOCK

 

Εδώ έχουμε δύο φωνήεντα στα COOP, COOT, ROOT και ROOK. Όμως, ακόμα κι αν πολλές μεμονωμένες λύσεις έχουν κάπου δύο φωνήεντα, αυτό δεν αποδεικνύει ότι το ίδιο πρέπει να ισχύει για όλες. Μια απόδειξη είναι ένα λογικό επιχείρημα που δεν αφήνει περιθώριο αμφιβολίας. Μετά από κάποιο αριθμό πειραματισμών και σκέψεων, το «θεώρημα» που προτείνω αρχίζει να φαντάζει προφανές. Όσο περισσότερο σκέφτεσαι για το πώς μπορούν τα φωνήεντα να αλλάξουν θέσεις, τόσο περισσότερο προφανές γίνεται ότι σε κάποιο σημείο της διαδρομής θα πρέπει να υπάρχουν ακριβώς δύο φωνήεντα.

Αλλά, το αίσθημα ότι κάτι είναι «προφανές» Δεν αποτελεί απόδειξη, και εκτός των άλλων υπάρχει κι ένα λεπτό σημείο στο θεώρημα, καθώς κάποιες λέξεις με τέσσερα γράμματα περιλαμβάνουν τρία φωνήεντα, όπως για παράδειγμα το ΟΟΖΕ. Ναι, αλλά… στη διαδρομή προς τη λέξη με τα τρία φωνήεντα, άραγε, δεν θα πρέπει να περάσουμε από μια λέξη με δύο φωνήεντα; Συμφωνώ, όμως ούτε αυτό είναι απόδειξη, παρ’ ότι μπορεί να μας βοηθήσει να βρούμε μια απόδειξη. Γιατί πρέπει να περάσουμε από μια λέξη με δύο φωνήεντα; Ένας καλός τρόπος για να βρούμε μια απόδειξη εδώ είναι να δώσουμε προσοχή στις λεπτομέρειες. Παρακολούθησε πώς κινούνται τα φωνήεντα. Αρχικά, υπάρχει ένα φωνήεν στην τρίτη θέση. Στο τέλος, θέλουμε ένα φωνήεν στη δεύτερη θέση. Όμως -μια απλή αλλά σημαντική γνώση-, ένα φωνήεν δεν μπορεί να αλλάξει θέση σε ένα βήμα, γιατί αυτό θα συνεπαγόταν την αλλαγή δύο γραμμάτων.

Ας κρατήσουμε αυτή τη σκέψη στο νου μας, ώστε να μπορούμε να βασιστούμε πάνω της. Ιδού ένας τρόπος για να την αποδείξουμε. Σε κάποιο στάδιο, ένα σύμφωνο στη δεύτερη θέση πρέπει να αλλάξει σε φωνήεν, αφήνοντας όλα τα υπόλοιπα γράμματα αμετάβλητα. Σε κάποιο άλλο στάδιο, το φωνήεν στην τρίτη θέση πρέπει να αλλάξει σε σύμφωνο. Μπορεί άλλα φωνήεντα και σύμφωνα επίσης να έρχονται και να φεύγουν, όμως ό,τι άλλο κι αν συμβαίνει, μπορούμε τώρα να είμαστε βέβαιοι πως ένα φωνήεν δεν μπορεί να αλλάξει θέση σε ένα βήμα. Πώς αλλάζει ο αριθμός των φωνηέντων σε μια λέξη; Λοιπόν, μπορεί να παραμείνει ο ίδιος, μπορεί να αυξηθεί κατά 1 (όταν ένα σύμφωνο αλλάζει σε φωνήεν), ή μπορεί να μειωθεί κατά 1 (όταν ένα φωνήεν μετατρέπεται σε σύμφωνο).

Δεν υπάρχουν άλλες δυνατότητες. Ο αριθμός των φωνηέντων αρχίζει με 1 στο «SΗΙΡ» και τελειώνει με 1 στο «DOCK», δεν μπορεί όμως να είναι 1 σε κάθε βήμα, γιατί τότε το μοναδικό φωνήεν θα έπρεπε να παραμείνει στο ίδιο σημείο στη θέση τρία, κι εμείς ξέρουμε ότι πρέπει να καταλήξει στη θέση δύο. Μια ιδέα: σκέψου το πρωταρχικό βήμα στο οποίο αλλάζει ο αριθμός των φωνηέντων. Ο αριθμός των φωνηέντων θα πρέπει να ήταν 1 όλες τις φορές πριν από αυτό το βήμα. Συνεπώς αλλάζει από 1 σε κάτι άλλο. Οι μόνες πιθανότητες είναι το 0 και το 2, γιατί ο αριθμός είτε αυξάνεται είτε μειώνεται κατά 1. Μπορεί να είναι το 0; Όχι, γιατί αυτό σημαίνει ότι η λέξη δεν θα είχε καθόλου φωνήεντα, και εξ ορισμού καμιά «λέξη», με τη δική μας περιορισμένη έννοια, δε μπορεί να είναι έτσι. Άρα, η λέξη περιλαμβάνει δύο φωνήεντα’ τέλος της απόδειξης. Μόλις αρχίσαμε να αναλύουμε το πρόβλημα και μια απόδειξη ξεφύτρωσε από μόνη της. Αυτό συμβαίνει συχνά όταν ακολουθείς τη γραμμή της λιγότερης αντίστασης.

Έχε υπόψη σου, ότι τα πράγματα αρχίζουν να γίνονται πραγματικά ενδιαφέροντα όταν η γραμμή της λιγότερης αντίστασης δεν οδηγεί απολύτως πουθενά. Είναι πάντα καλή ιδέα να ελέγχεις μια απόδειξη με παραδείγματα, γιατί έτσι συχνά εντοπίζεις λογικά λάθη.

Ας μετρήσουμε, λοιπόν, τα φωνήεντα:

SΗΙΡ 1 φωνήεν

SΗΟΡ 1 φωνήεν

SΗΟΤ 1 φωνήεν

SLΟΤ 1 φωνήεν

SΟΟΤ 2 φωνήεντα

LΟΟΤ 2 φωνήεντα

LOOΚ 2 φωνήεντα

LOCK 1 φωνήεν

DOCK 1 φωνήεν

Η απόδειξη λέει να βρούμε την πρώτη λέξη στην οποία ο αριθμός δεν είναι 1 -και αυτή είναι η λέξη «SOOT», πού έχει δύο φωνήεντα. Η απόδειξή μας επαληθεύεται με αυτό το παράδειγμα. Επιπλέον, ο αριθμός των φωνηέντων αλλάζει, όντως, το πολύ κατά 1 σε κάθε βήμα. Ωστόσο, αυτά τα δεδομένα από μόνα τούς δε σημαίνουν ότι η απόδειξη είναι σωστή. Για να επιβεβαιώσεις την ορθότητά της θα πρέπει να ελέγξεις τη λογική αλυσίδα και να σιγουρευτείς ότι κάθε σύνδεσμος είναι άρρηκτος. Θα αφήσω σ’ εσένα να πείσεις τον εαυτό σου ότι έτσι έχουν τα πράγματα. Πρόσεξε εδώ τη διαφορά ανάμεσα στη διαίσθηση και Την απόδειξη. Η διαίσθηση μας λέει ότι το μεμονωμένο φωνήεν στη λέξη «SΗΙΡ» δεν μπορεί να μεταπηδήσει σε διαφορετική θέση) εκτός αν ένα νέο φωνήεν εμφανιστεί κάπου. Όμως η διαίσθηση δεν αποτελεί απόδειξη.

Η απόδειξη εμφανίζεται μόνο όταν προσπαθούμε να κατοχυρώσουμε αυτή τη διαίσθηση: ναι, ο αριθμός των φωνηέντων αλλάζει, αλλά πότε; Ποια πρέπει να είναι αυτή η αλλαγή; Δεν επιβεβαιώνουμε μόνο ότι πρέπει να εμφανιστούν δύο φωνήεντα, αλλά -επίσης- καταλαβαίνουμε γιατί αυτό είναι αναπόφευκτο. Και παίρνουμε επιπρόσθετες πληροφορίες, δωρεάν. Αν ένα γράμμα μπορεί να είναι ορισμένες φορές φωνήεν και ορισμένες σύμφωνο, τότε η συγκεκριμένη απόδειξη καταρρέει.

Παραδείγματος χάριν, με λέξεις τριών γραμμάτων υπάρχει η εξής ακολουθία:

SPA

SPY

SAY

SAD

Αν λογαριάσουμε το Υ ως φωνήεν στη λέξη «SPY», αλλά ως σύμφωνο στη λέξη «SAY» (κάτι πού είναι υποστηρίξιμο αλλά και αμφιλεγόμενο), τότε κάθε λέξη έχει ένα μόνο φωνήεν, αλλά η θέση του φωνήεντος μετακινείται. Δεν πιστεύω ότι αυτή η εφαρμογή μπορεί να προξενήσει προβλήματα στη μετατροπή του SHIP σε DOCK, αυτό όμως εξαρτάται από μια πολύ πιο ενδελεχή ανάλυση των πραγματικών λέξεων που βρίσκονται στο λεξικό. Ο πραγματικός κόσμος είναι καμιά φορά μπερδεμένος. Οι γρίφοι με λέξεις είναι διασκεδαστικοί (προσπάθησε να αλλάξεις το «ORDΕR» σε «CHAOS»). Ο συγκεκριμένος γρίφος, μας διδάσκει επίσης κάτι σχετικά με τις αποδείξεις και τη λογική, καθώς και κάτι σχετικά με τις εξιδανικεύσεις που εμπλέκονται, συχνά, όταν χρησιμοποιούμε τα μαθηματικά για να μοντελοποιήσουμε τον πραγματικό κόσμο.

 

Επιστολές σε μία νεαρή μαθηματικό

IAN STEWART

Εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ

 

Εικόνα: https://www.thisiscolossal.com/2011/02/a-1-scrabble-designer-edition/



Facebook

Instagram

Follow Me on Instagram
  • At Christmas , all roads lead home !

    lecturesbureau: "At Christmas , all roads lead home !"
    214
    0
  • Love is the only Reality .

    lecturesbureau: "Love is the only Reality ."
    374
    1
  • The mediocre teacher tells . The good teacher explains . The superior teacher demonstrates . The great teacher inspires .

    lecturesbureau: "The mediocre teacher tells .
The good teacher explains .
The superior teacher demonstrates .
The great teacher inspires ."
    236
    1
  • He who knows that enough is enough will always have enough .

    lecturesbureau: "He who knows that enough is enough
will always have enough ."
    282
    0
  • How people treat you is their karma . How you react is yours .

    lecturesbureau: "How people treat you is their karma .
How you react is yours ."
    304
    0
  • There is only way to avoid criticism : do nothing , say nothing , and be nothing .

    lecturesbureau: "There is only way to avoid criticism :
do nothing ,
say nothing ,
and be nothing ."
    371
    0
  • Nature is the Art of God

    lecturesbureau: "Nature is the Art of God"
    392
    0
  • The great thing in this world is not so much where we are but in what direction we are moving .

    lecturesbureau: "The great thing in this world is not so much where we are
but in what direction we are moving ."
    335
    0
  • A gentle word , a kind look , a good-natured smile can work wonders and accomplish miracles .

    lecturesbureau: "A gentle word , a kind look , a good-natured  smile 
can work wonders and accomplish miracles ."
    549
    2
  • We are all so much together , but we are all dying of loneliness .

    lecturesbureau: "We are all so much together ,
but we are all dying of loneliness ."
    369
    0