04 Σεπ Πρόκειται για την ηχώ του Ευκλείδη, είκοσι τρεις αιώνες μετά τον θάνατό του. (WILLIAM DUNHAM) | Μέρος Γ’
Πρόκειται για την ηχώ του Ευκλείδη, είκοσι τρεις αιώνες μετά τον θάνατό του.
Το έργο μελετήθηκε από τους σπουδαίους Ιταλούς λογίους του 16ου αιώνα και, έναν αιώνα αργότερα, από έναν νεαρό φοιτητή του Καίμπριτζ ονόματι Ισαάκ Νεύτων.
Σε ένα απόσπασμα της βιογραφίας του Αβραάμ Λίνκολν από τον Καρλ Σάντμπεργκ, αναφέρεται πως ο Λίνκολν, ο οποίος σε μεγάλο βαθμό ήταν αυτοδίδακτος, προσπαθώντας ως νεαρός δικηγόρος να οξύνει τις ικανότητές του στην επιχειρηματολογία
… αγόρασε τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ένα βιβλίο είκοσι τριών αιώνων… [Το βιβλίο] μπήκε στο σακίδιό του καθώς εκείνος έπαιρνε τον δρόμο του. Στη διάρκεια της νύχτας… διάβαζε τον Ευκλείδη υπό το φως ενός κεριού ενώ όλοι οι άλλοι είχαν αποκοιμηθεί.
Έχει συχνά επισημανθεί ότι ο λόγος του Λίνκολν επηρεάστηκε και εμπλουτίστηκε από τη μελέτη του Σαίξπηρ και της Βίβλου. Είναι ομοίως προφανές ότι πολλά από τα πολιτικά επιχειρήματά του απηχούν τη λογική ανάπτυξη μιας ευκλείδειας πρότασης.
Αλλά και ο Μπέρτραντ Ράσελ (1872 – 1970) είχε τις δικές του όμορφες αναμνήσεις από τα Στοιχεία. Στην αυτοβιογραφία του, γράφει την εξής αξιοσημείωτη ανάμνηση:
Στην ηλικία των έντεκα άρχισα να διαβάζω τον Ευκλείδη με τον αδερφό μου ως δάσκαλο. Αυτό ήταν ένα από τα σπουδαία γεγονότα της ζωής μου, εκθαμβωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας.
Η μεγαλοφυΐα του Ευκλείδη δεν έγκειτο τόσο στη δημιουργία νέων μαθηματικών όσο στην παρουσίαση των παλαιών μαθηματικών με έναν απολύτως σαφή, οργανωμένο και λογικό τρόπο.
Δεν πρόκειται για μικρό επίτευγμα.
Είναι σημαντικό να αναγνωρίσουμε τα Στοιχεία ως κάτι περισσότερο από απλώς μαθηματικά θεωρήματα και τις αποδείξεις τους· σε τελική ανάλυση, οι μαθηματικοί πίσω στον χρόνο μέχρι τον Θαλή παρέχουν αποδείξεις προτάσεων. Ο Ευκλείδης μας έδωσε μια θαυμάσια αξιωματική ανάπτυξη του αντικειμένου του, και αυτή είναι μια κρίσιμη διάκριση.
Στην αρχή των Στοιχείων παραθέτει λίγα βασικά πράγματα: 23 ορισμούς, 5 αιτήματα και 5 κοινές έννοιες ή γενικά αξιώματα. Αυτά ήταν τα θεμέλια, τα “δεδομένα” του συστήματός του. Μπορούσε να τα χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε στιγμή επιθυμούσε. Από αυτά τα βασικά στοιχεία, απέδειξε την πρώτη του πρόταση και, στη συνέχεια, κατάφερε να αναμείξει τους ορισμούς, τα αιτήματα, τις κοινές έννοιες και την πρώτη του πρόταση ώστε να αποδείξει τη δεύτερη πρόταση. Και συνέχισε με αυτόν τον τρόπο.
Συνακόλουθα, ο Ευκλείδης δεν έδωσε απλώς αποδείξεις· τις έδωσε εντός του αξιωματικού πλαισίου του. Τα πλεονεκτήματα μιας τέτοιας ανάπτυξης είναι σημαντικά. Αν μη τι άλλο, αποφεύγεται ο κυκλικός συλλογισμός.
Κάθε πρόταση έχει μια σαφή, μονοσήμαντη ακολουθία από προκείμενες που οδηγούν πίσω στα αρχικά αξιώματα.
Όσοι είναι εξοικειωμένοι με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές μπορούν να φτιάξουν ακόμη κι ένα λογικό διάγραμμα το οποίο να δείχνει επακριβώς ποια αποτελέσματα εισάγονται στην απόδειξη ενός δοθέντος θεωρήματος. Η προσέγγιση αυτή είναι μακράν ανώτερη από το να προσπαθούμε “στα τυφλά” να αποδείξουμε μια πρόταση, διότι σε μια τέτοια περίπτωση δεν είναι ποτέ σαφές ποια προηγούμενα αποτελέσματα μπορούν και ποια δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο μεγάλος κίνδυνος όταν ξεκινάμε από τη μέση, ούτως ειπείν, είναι ότι για να αποδείξουμε το θεώρημα Α ίσως χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα Β το οποίο, με η σειρά του, ίσως προκύψει ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί αν δεν χρησιμοποιήσουμε το ίδιο το θεώρημα Α. Αυτό οδηγεί σε ένα κυκλικό επιχείρημα, το λογικό ισοδύναμο ενός φιδιού που τρώει την ουρά του· στα μαθηματικά είναι βέβαιο πως δεν οδηγεί σε κάτι καλό.
Όμως η αξιωματική προσέγγιση έχει και ένα άλλο όφελος.
Καθώς μπορούμε να επιλέξουμε τις προκείμενες κάθε πρότασης, έχουμε μια άμεση αίσθηση του τι θα συμβεί αν μεταβάλουμε ή εξαλείψουμε ένα από τα βασικά αιτήματά μας. Εάν, για παράδειγμα, έχουμε αποδείξει το θεώρημα Α χωρίς να κάνουμε χρήση είτε του αιτήματος Γ είτε οποιουδήποτε αποτελέσματος προηγουμένως αποδειγμένου μέσω του αιτήματος Γ, τότε είμαστε βέβαιοι ότι το θεώρημα Α παραμένει έγκυρο ακόμη και αν απορρίψουμε το αίτημα Γ. Παρότι αυτό ίσως μοιάζει κάπως αποκρυφιστικό, ακριβώς ένα τέτοιο ζήτημα προέκυψε αναφορικά με το αμφιλεγόμενο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη και οδήγησε σε μια από τις πλέον μακροχρόνιες και βαθύτερες διαμάχες στην ιστορία των μαθηματικών.
Επομένως, η αξιωματική ανάπτυξη των Στοιχείων ήταν μείζονος σημασίας. Παρότι ο Ευκλείδης δεν τα κατάφερε εντελώς αψεγάδιαστα, το υψηλό επίπεδο λογικής επιτήδευσης και η προφανής επιτυχία του στην ύφανση των κομματιών των μαθηματικών του σε έναν συνεχή ιστό, από τις βασικές υποθέσεις μέχρι τα πλέον πολύπλοκα συμπεράσματα, χρησίμευσαν ως μοντέλο για όλο τα μαθηματικό έργο που ακολούθησε.
Μέχρι σήμερα, στα απόκρυφα πεδία της τοπολογίας ή της αφηρημένης άλγεβρας και της συναρτησιακής ανάλυσης, οι μαθηματικοί παρουσιάζουν πρώτα τα αξιώματά τους και κατόπιν προχωρούν, βήμα προς βήμα, στην οικοδόμηση των θαυμαστών θεωριών τους.
Πρόκειται για την ηχώ του Ευκλείδη, είκοσι τρεις αιώνες μετά τον θάνατό του.
ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ένα ταξίδι στη μεγαλοφυΐα
William Dunham
Εκδόσεις Αλεξάνδρεια
Εικόνα Α: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements
Εικονα Β: https://pixels.com/featured/euclid-jazzberry-blue.html?product=art-print
ΕΙκόνα Γ: https://cdn.britannica.com/46/8446-050-BC92B998.jpg
