Ο πολυσχιδής e

Ο πολυσχιδής e

Ο αριθμός e είναι μια σημαντική μαθηματική σταθερά που είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828 και είναι το όριο της ακολουθίας  (1 + 1/n)n  όσο το n πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς

Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Napier, αλλά η επιλογή του Euler του συμβόλου e λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. Ο e ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους.
Η εκθετική συνάρτηση, f(x) = ex από την στιγμή του ορισμού της έγινε μία από τις διασημότερες (αν όχι η διασημότερη) συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή έχει την εξαιρετική ιδιότητα να ισούται με την παράγωγο της. Αυτό σημαίνει ότι έχει σταθερό ρυθμό μεταβολής (ή σταθερή ένταση) κάτι το οποίο συναντάμε σε πάρα πολλές εφαρμογές ως το πρώτο βήμα για να δομήσουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα.

 

Η συνάρτηση f(x) = ex προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της σειράς

 

e1

Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά, μαζί με το 0, το 1, το π και το i. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της ταυτότητας του Όιλερ.
Ο Euler κατελήξε στην παρακάνω σχέση για έναν φανταστικό αριθμό:

eix = cosx + isinx

Αν θέσουμε x = π παίρνουμε:

e2

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση του Euler και είναι μία από τις σημαντικότερες στην φιλοσοφία των Μαθηματικών. Συνδέει τις σταθερές e,π,i με την μονάδα και το μηδέν! Πέρα από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή μας έδωσε και κάτι παραπάνω.
Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης.Τέτοιος αριθμός είναι και ο e.

 

Όπως και η σταθερά π, το e είναι άρρητος, δηλ. δεν είναι λόγος ακεραίων, και είναι υπερβατικός, δηλ. δεν είναι ρίζα κάθε μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές. Η αριθμητική αξία του e μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

 

Το ότι ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος απεδείχθη  από τον Euler που έδειξε ότι η απλή συνέχιση της επέκτασης του κλάσματος είναι άπειρη.
Επιπλέον, από το θεώρημα Lindemann-Weierstrass, το e είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό (σε σύγκριση με τον αριθμό Liouville). Η απόδειξη δόθηκε από τον Charles Hermite το 1873.
Εικάζεται ότι το e είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (εμφανίζονται ισοπίθανα σε οποιαδήποτε δεδομένη ακολουθία πεπερασμένου μήκους).
Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργο για λογαρίθμους από τον Τζον Νάπιερ (John Napier). Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Υποστηρίζεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli).
Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα  b, ήταν σε αντιστοιχία από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Leibniz) στον Κρίστιαν Χόυχενς (Christiaan Huygens) το  1690 και το 1691. Ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler) εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον Christian Goldbach  στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Euler ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έγγραφο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του Euler Mechanica (1736).

 

Τόκος ανατοκισμού
O Jacob Bernoulli ανακάλυψε αυτή τη  σταθερά μελετώντας μια ερώτηση σχετικά με τους τόκους ανατοκισμού:
Ένας λογαριασμός ξεκινά με $ 1.00 και πληρώνει 100  τοις εκατό τόκο  ανά έτος. Εάν ο τόκος πιστώνεται μια φορά η αξία του λογαριασμού στο τέλος του έτους θα είναι $ 2,00. Τι συμβαίνει  αν ο τόκος υπολογιστεί και πιστωθεί πιο συχνά κατά τη διάρκεια του έτους;
Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε το αρχικό  $ 1 πολλαπλασιάζεται κατά 1,5 φορές, αποδίδοντας $ 1.00 × 1.52 = 2,25 $  στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις  τριμηνιαίες αποδόσεις  είναι $ 1,00 × 1.254 = 2,4414 δολάρια … και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 δολάρια … Αν υπάρχουν n συμμιγή  διαστήματα, το ενδιαφέρον για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι 1,00 € × (1 + 1 / n) n.
Ο Bernoulli παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο (τη δύναμη του ενδιαφέροντος) με μεγαλύτερα n και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα σύνθεσης. Υπολογίζοντας  την εβδομάδα (n = 52) αποδίδει 2,692597 δολάρια …, ενώ υπολογίζοντας ημερησίως (n = 365) αποδίδει 2,714567 δολάρια …, μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το n μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός  ως e! Mε συνεχή σύνθεση, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα $ 2.7182818 …. Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει eRt δολάρια με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το R είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05)

 

 

e: Η Ιστορία ενός Αριθμού
Eli Maor 

Βικιπαίδεια

 

Εικόνα: http://www.gogeometry.com/software/word_cloud_e_euler.gif



Facebook

Instagram

Follow Me on Instagram
  • It is Christmas in the heart that puts Christmas in the air !

    lecturesbureau: "It is Christmas in the heart
that puts Christmas in the air !"
    149
    0
  • Don't walk behind me , I may not lead . Don't walk in front of me , I may not follow . Walk beside me and be my friend .

    lecturesbureau: "Don't walk behind me , I may not lead .
Don't walk in front of me , I may not follow .
Walk beside me and be my friend ."
    336
    1
  • To be human is to love

    lecturesbureau: "To be human is to love"
    322
    0
  • At Christmas , all roads lead home !

    lecturesbureau: "At Christmas , all roads lead home !"
    309
    0
  • Love is the only Reality .

    lecturesbureau: "Love is the only Reality ."
    375
    1
  • The mediocre teacher tells . The good teacher explains . The superior teacher demonstrates . The great teacher inspires .

    lecturesbureau: "The mediocre teacher tells .
The good teacher explains .
The superior teacher demonstrates .
The great teacher inspires ."
    238
    1
  • He who knows that enough is enough will always have enough .

    lecturesbureau: "He who knows that enough is enough
will always have enough ."
    285
    0
  • How people treat you is their karma . How you react is yours .

    lecturesbureau: "How people treat you is their karma .
How you react is yours ."
    305
    0
  • There is only way to avoid criticism : do nothing , say nothing , and be nothing .

    lecturesbureau: "There is only way to avoid criticism :
do nothing ,
say nothing ,
and be nothing ."
    372
    0
  • Nature is the Art of God

    lecturesbureau: "Nature is the Art of God"
    394
    0