AΡΧΙΜΗΔΗΣ περί π (WILLIAM DUNHAM)

AΡΧΙΜΗΔΗΣ περί π (WILLIAM DUNHAM)

ΠΡΟΤΑΣΗ 3
Ο λόγος της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μικρότερος από 3 1/7 αλλά και μεγαλύτερος από 3 10/71.
Με σύγχρονο συμβολισμό, αυτό μας λέει: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Αν μετατρέψουμε τα κλάσματα αυτά σε δεκαδικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα του Αρχιμήδη γράφεται 3,140845… < π < 3,142857… Επομένως, η σταθερά π έχει προσδιοριστεί, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, σε 3,14.
Το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης κατέληξε σε αυτή την αριθμητική προσέγγιση αποτελεί άλλη μια ένδειξη των δυνατοτήτων του. Το στρατηγικό σχέδιό του ήταν και πάλι να χρησιμοποιήσει τα διαρκώς βοηθητικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα, μόνο που αυτή τη φορά, αντί να προσδιορίσει τα εμβαδά τους, επικεντρώθηκε στις περιμέτρους τους. Ξεκίνησε με ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο γνωρίζοντας πως κάθε πλευρά του εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου, έστω μήκους r. Άρα

Ομολογουμένως, πρόκειται για μια πολύ χονδροειδή εκτίμηση της τιμής του π, όμως ο Αρχιμήδης μόλις είχε αρχίσει. Στη συνέχεια διπλασίασε τον αριθμό των πλευρών του εγγεγραμμένου πολυγώνου του ώστε να πάρει κανονικό δωδεκάγωνο του οποίου την περίμετρο έπρεπε να υπολογίσει. Στο σημείο αυτό αφήνει τους σύγχρονους μαθηματικούς να κουνούν το κεφάλι τους από θαυμασμό, διότι ο προσδιορισμός της περιμέτρου του δωδεκαγώνου απαιτεί την αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 3. Με τις σημερινές αριθμομηχανές και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές αυτό δεν μοιάζει με πραγματικό εμπόδιο, όμως την εποχή του Αρχιμήδη όχι μόνο τέτοιες συσκευές ήταν αδιανόητες, αλλά δεν υπήρχε καν ένα καλό σύστημα αριθμών για την διευκόλυνση τέτοιων υπολογισμών. Ωστόσο, έδωσε την ακόλουθη εκτίμηση:

 

που είναι εντυπωσιακά κοντά στην πραγματική τιμή.

Κατόπιν, ο Αρχιμήδης προχώρησε σε περαιτέρω διχοτομήσεις ώστε να πάρει ένα κανονικό 24γωνο, ένα κανονικό 48γωνο, και τέλος ένα κανονικό 96γωνο. Σε κάθε βήμα έπρεπε να προσεγγίζει περίπλοκες τετραγωνικές ρίζες, αλλά δεν κλονίστηκε. Όταν έφτασε στο 96γωνο, η προσέγγισή του ήταν

Σαν να μην έφτανε αυτό, ο Αρχιμήδης άλλαξε κατεύθυνση και έκανε παρόμοιες εκτιμήσεις για κανονικά περιγεγραμμένα 12γωνα, 24γωνα, 48γωνα και 96γωνα. Έτσι οδηγήθηκε στο άνω φράγμα του 3 1/7 για την τιμή του π. Τέτοιοι υπολογισμοί, λαμβάνοντας υπ’ όψιν το απολύτως φρικτό αριθμητικό σύστημα και τις καθόλου εύκολες διαδικασίες για την προσέγγιση των απαραίτητων τετραγωνικών ριζών, αποτελούν ασφαλή τεκμήρια για τις φοβερές ικανότητες του Αρχιμήδη.
Οι υπολογισμοί αυτοί ήταν το αριθμητικό ανάλογο του να τρέχει ένας αθλητής σε δρόμο μετ’ εμποδίων φορώντας στα πόδια του σιδερένια μπάλα και αλυσίδες.
Ωστόσο, βάζοντας σε τάξη την τεράστια διάνοια και την επιμονή του, ο Αρχιμήδης κατάφερε να δώσει την πρώτη επιστημονική εκτίμηση της κρίσιμης σταθεράς π.

 

 

 

 

 

ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ένα ταξίδι στη μεγαλοφυΐα
WILLIAM DUNHAM
Εκδόσεις Αλεξάνδρεια

 

Εικόνα: https://gr.pinterest.com/pin/229050331035098973/



Facebook

Instagram

Follow Me on Instagram
  • And those who were seen dancing were thought to be insane by THOSE WHO COULD NOT HEAR THE MUSIC ...

    lecturesbureau: "And those who were seen dancing
were thought to be insane
by THOSE WHO COULD NOT HEAR THE MUSIC ..."
    231
    0
  • Life is so unpredictable that anything is possible .

    lecturesbureau: "Life is so unpredictable that anything is possible ."
    262
    0
  • I LIVE IN MY DREAMS . Other people live in dreams , but not in their own . That's the difference .

    lecturesbureau: "I LIVE IN MY DREAMS .
Other people live in dreams , but not in their own .
That's the difference ."
    345
    2
  • All my life I've looked at words as though I were seeing them for the first time .

    lecturesbureau: "All my life I've looked at words
as though I were seeing them for the first time ."
    256
    0
  • Medicine heals deseases of the body wisdom frees the soul from passions .

    lecturesbureau: "Medicine heals deseases of the body
wisdom frees the soul from passions ."
    493
    1
  • It does not matter how slowly you go so long as you do not stop .

    lecturesbureau: "It does not matter how slowly you go 
so long as you do not stop ."
    352
    2
  • A book read by a thousand different people is a thousand different books .

    lecturesbureau: "A book read by a thousand different people
is a thousand different books ."
    611
    0
  • Our chief want is someone who will inspire us to be WHAT WE KNOW WE COULD BE .

    lecturesbureau: "Our chief want is someone who will inspire us
to be WHAT WE KNOW WE COULD BE ."
    269
    2
  • The bee discovers amid the most pungent flowers and the roughest thorns the smoothest and most palatable honey .

    lecturesbureau: "The bee discovers amid the most pungent flowers
and the roughest thorns
the smoothest and most palatable honey ."
    108
    0
  • Without joy in our heart , our progress in life is slow and uninteresting .

    lecturesbureau: "Without joy in our heart ,
our progress in life 
is slow and uninteresting ."
    220
    0