AΡΧΙΜΗΔΗΣ περί π (WILLIAM DUNHAM)

AΡΧΙΜΗΔΗΣ περί π (WILLIAM DUNHAM)

ΠΡΟΤΑΣΗ 3
Ο λόγος της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μικρότερος από 3 1/7 αλλά και μεγαλύτερος από 3 10/71.
Με σύγχρονο συμβολισμό, αυτό μας λέει: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Αν μετατρέψουμε τα κλάσματα αυτά σε δεκαδικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα του Αρχιμήδη γράφεται 3,140845… < π < 3,142857… Επομένως, η σταθερά π έχει προσδιοριστεί, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, σε 3,14.
Το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης κατέληξε σε αυτή την αριθμητική προσέγγιση αποτελεί άλλη μια ένδειξη των δυνατοτήτων του. Το στρατηγικό σχέδιό του ήταν και πάλι να χρησιμοποιήσει τα διαρκώς βοηθητικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα, μόνο που αυτή τη φορά, αντί να προσδιορίσει τα εμβαδά τους, επικεντρώθηκε στις περιμέτρους τους. Ξεκίνησε με ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο γνωρίζοντας πως κάθε πλευρά του εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου, έστω μήκους r. Άρα

Ομολογουμένως, πρόκειται για μια πολύ χονδροειδή εκτίμηση της τιμής του π, όμως ο Αρχιμήδης μόλις είχε αρχίσει. Στη συνέχεια διπλασίασε τον αριθμό των πλευρών του εγγεγραμμένου πολυγώνου του ώστε να πάρει κανονικό δωδεκάγωνο του οποίου την περίμετρο έπρεπε να υπολογίσει. Στο σημείο αυτό αφήνει τους σύγχρονους μαθηματικούς να κουνούν το κεφάλι τους από θαυμασμό, διότι ο προσδιορισμός της περιμέτρου του δωδεκαγώνου απαιτεί την αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 3. Με τις σημερινές αριθμομηχανές και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές αυτό δεν μοιάζει με πραγματικό εμπόδιο, όμως την εποχή του Αρχιμήδη όχι μόνο τέτοιες συσκευές ήταν αδιανόητες, αλλά δεν υπήρχε καν ένα καλό σύστημα αριθμών για την διευκόλυνση τέτοιων υπολογισμών. Ωστόσο, έδωσε την ακόλουθη εκτίμηση:

 

που είναι εντυπωσιακά κοντά στην πραγματική τιμή.

Κατόπιν, ο Αρχιμήδης προχώρησε σε περαιτέρω διχοτομήσεις ώστε να πάρει ένα κανονικό 24γωνο, ένα κανονικό 48γωνο, και τέλος ένα κανονικό 96γωνο. Σε κάθε βήμα έπρεπε να προσεγγίζει περίπλοκες τετραγωνικές ρίζες, αλλά δεν κλονίστηκε. Όταν έφτασε στο 96γωνο, η προσέγγισή του ήταν

Σαν να μην έφτανε αυτό, ο Αρχιμήδης άλλαξε κατεύθυνση και έκανε παρόμοιες εκτιμήσεις για κανονικά περιγεγραμμένα 12γωνα, 24γωνα, 48γωνα και 96γωνα. Έτσι οδηγήθηκε στο άνω φράγμα του 3 1/7 για την τιμή του π. Τέτοιοι υπολογισμοί, λαμβάνοντας υπ’ όψιν το απολύτως φρικτό αριθμητικό σύστημα και τις καθόλου εύκολες διαδικασίες για την προσέγγιση των απαραίτητων τετραγωνικών ριζών, αποτελούν ασφαλή τεκμήρια για τις φοβερές ικανότητες του Αρχιμήδη.
Οι υπολογισμοί αυτοί ήταν το αριθμητικό ανάλογο του να τρέχει ένας αθλητής σε δρόμο μετ’ εμποδίων φορώντας στα πόδια του σιδερένια μπάλα και αλυσίδες.
Ωστόσο, βάζοντας σε τάξη την τεράστια διάνοια και την επιμονή του, ο Αρχιμήδης κατάφερε να δώσει την πρώτη επιστημονική εκτίμηση της κρίσιμης σταθεράς π.

 

 

 

 

 

ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ένα ταξίδι στη μεγαλοφυΐα
WILLIAM DUNHAM
Εκδόσεις Αλεξάνδρεια

 

Εικόνα: https://gr.pinterest.com/pin/229050331035098973/



Facebook

Instagram

Follow Me on Instagram
  • It's not the sentiments of men which make history BUT THEIR ACTIONS .

    lecturesbureau: "It's not the sentiments of men which make history
BUT THEIR ACTIONS ."
    119
    1
  • There is only one journey . Going inside yourself .

    lecturesbureau: "There is only one journey .
Going inside yourself ."
    342
    2
  • Love is composed of a single soul inhabiting two bodies .

    lecturesbureau: "Love is composed of a single soul
inhabiting two bodies ."
    274
    1
  • Little by little , one travels far .

    lecturesbureau: "Little by little ,
one travels far ."
    132
    0
  • What the caterpillar calls the end , the rest of the world calls a butterfly .

    lecturesbureau: "What the caterpillar calls the end ,
the rest of the world
calls a butterfly ."
    247
    0
  • Whatever you do , DO WITH ALL YOUR MIGHT !

    lecturesbureau: "Whatever you do ,

DO WITH ALL YOUR MIGHT !"
    253
    1
  • Love responsibility . Say : It is my duty , and mine alone , to save the Earth . If it is not saved , then I ALONE AM TO BLAME .

    lecturesbureau: "Love responsibility .
Say : It is my duty , and mine alone , to save the Earth .
If it is not saved , then I ALONE AM TO BLAME ."
    251
    0
  • The perfect Love is the one that gives everything and never expects anything in return .

    lecturesbureau: "The perfect Love is the one 
that gives everything
and never expects anything in return ."
    1807
    6
  • Liberty means Responsibility . That is why most men dread it .

    lecturesbureau: "Liberty means Responsibility .

That is why most men dread it ."
    282
    1
  • It is better to be envied than pitied .

    lecturesbureau: "It is better to be envied
than pitied ."
    257
    1