13 Νοέ Οι νόμοι της αλήθειας και της μισής αλήθειας | Μέρος Β’ (LEONARD MLODINOW)
Οι Ρωμαίοι γενικά περιφρονούσαν τα μαθηματικά, ή τουλάχιστον τα μαθηματικά των Ελλήνων. Όπως αναφέρει ο Ρωμαίος πολίτικος Κικέρωνας, που έζησε από το 100 έως το 43 π.Χ., οι Έλληνες απέδιδαν τις υψηλότερες τιμές στον γεωμέτρη-κατά συνέπεια, σε τίποτα άλλο δεν σημείωσαν τόσο λαμπρή πρόοδο όσο στα μαθηματικά. Εμείς όμως ως όριο αυτής της τέχνης έχουμε θέσει τη χρησιμότητα της στη μέτρηση και την αρίθμηση”. Πράγματι, ενώ θα μπορούσε κανείς να φανταστεί ότι ένα ελληνικό εγχειρίδιο θα εστίαζε στην απόδειξη της ομοιότητας αφηρημένων τριγώνων, ένα τυπικό ρωμαϊκό κείμενο επικεντρωνόταν σε προβλήματα όπως ο υπολογισμός του πλάτους ενός ποταμού όταν ο εχθρός κατέχει την απέναντι όχθη. Με τέτοιου είδους μαθηματικές προτεραιότητες, δεν προκαλεί έκπληξη ότι ενώ οι Έλληνες γέννησαν μαθηματικές αυθεντίες όπως ο Αρχιμήδης, ο Διόφαντος, ο Ευκλείδης, ο Εύδοξος, ο Πυθαγόρας και ο Θαλής, οι Ρωμαίοι δεν ανέδειξαν ούτε έναν μαθηματικό. Πρωτεύουσα θέση στη ρωμαϊκή κουλτούρα κατείχαν οι ανέσεις και ο πόλεμος, όχι η αλήθεια και η ομορφιά. Κι όμως, ακριβώς επειδή επικεντρώθηκαν σε πρακτικά ζητήματα, οι Ρωμαίοι θεώρησαν σημαντική την κατανόηση των πιθανοτήτων. Έτσι, ενώ απέδιδε μικρή αξία στη θεωρητική γεωμετρία, ο Κικέρωνας έγραψε ότι “οι πιθανότητες είναι ο κύριος οδηγός της ζωής”
Ο Κικέρωνας υπήρξε ίσως ο κορυφαίος υπέρμαχος των πιθανοτήτων κατά την αρχαιότητα. Τις χρησιμοποίησε για να αμφισβητήσει την κοινή πεποίθηση ότι η επιτυχία στα τυχερά παιχνίδια οφειλόταν σε θεϊκή παρέμβαση, γράφοντας ότι “αυτός που παίζει συχνά θα πετύχει αργά ή γρήγορα τη βολή της Αφροδίτης: ενίοτε, μάλιστα, θα την πετύχει δύο, ακόμη και τρεις, φορές στη σειρά. Είμαστε λοιπόν τόσο ελαφρόμυαλοι ώστε να λέμε με βεβαιότητα ότι κάτι τέτοιο συνέβη λόγω προσωπικής παρέμβασης της Αφροδίτης και όχι από καθαρή τύχη;”. Ο Κικέρωνας πίστευε ότι θα μπορούσε κανείς να προβλέψει και να προσδοκά ένα ενδεχόμενο ακόμη κι αν η πραγμάτωσή του θα οφειλόταν αποκλειστικά στην τύχη. Χρησιμοποίησε μάλιστα ακόμη και ένα στατιστικό επιχείρημα για να γελοιοποιήσει την πίστη στην αστρολογία. Ενοχλημένος από το γεγονός ότι, αν και απαγορευμένη δια νόμου στη Ρώμη, η αστρολογία ζούσε και βασίλευε, ο Κικέρωνας επισήμανε ότι το 216 π.Χ. στις Κάννες, ο Αννίβας, επικεφαλής ενός στρατεύματος 50.000 Καρχηδονίων και συμμαχικών δυνάμεων, κατατρόπωσε τον πολύ μεγαλύτερο ρωμαϊκό στρατό, κατασφάζοντας πάνω από 60.000 από τους 80.000 στρατιώτες του. “Είχαν όλοι οι Ρωμαίοι που σκοτώθηκαν στις Κάννες το ίδιο ωροσκόπιο;” αναρωτήθηκε. “Κι όμως, είχαν όλοι το ίδιο τέλος”. Αν ο Κικέρωνας γνώριζε ότι δύο χιλιάδες περίπου χρόνια αργότερα μια επιστημονική μελέτη για την εγκυρότητα των αστρολογικών προβλέψεων στο περιοδικό Nature θα συμφωνούσε με τα συμπεράσματα του, μάλλον θα ένιωθε περήφανος. Από την άλλη πλευρά, η εφημερίδα New York Post με συμβουλεύει σήμερα, ως Τοξότης που είμαι να αντιμετωπίσω με αντικειμενικότητα τις αρνητικές κριτικές και να κάνω όποιες αλλαγές φαίνονται απαραίτητες.
Τελικά, η σημαντικότερη κληρονομιά που μας άφησε ο Κικέρωνας όσον αφορά την τυχαιότητα είναι ο όρος probabilis που χρησιμοποίησε, από τον οποίο προέρχεται ο όρος probability (πιθανότητα) που χρησιμοποιούμε σήμερα. Το πρώτο κείμενο, όμως, στο οποίο η “πιθανότητα” χρησιμοποιείται ως καθιερωμένος τεχνικός όρος είναι ο κώδικας του ρωμαϊκού δικαίου, ο Πανδέκτης, τον οποίο συνέταξε ο αυτοκράτορας Ιουστινιανός τον 6ο αιώνα. Για να εκτιμήσουμε τον τρόπο με τον οποίο εφάρμοσαν οι Ρωμαίοι τη μαθηματική σκέψη στη νομική θεωρία, θα πρέπει να κατανοήσουμε την ιστορική συγκυρία: Το ρωμαϊκό δίκαιο των αρχών του Μεσαίωνα βασιζόταν στις πρακτικές των γερμανικών φυλών. Κι αυτές δεν ήταν ιδιαίτερα ωραίες. Ας πάρουμε για παράδειγμα τους κανόνες για την ένορκη κατάθεση. Η ειλικρίνεια, ας πούμε, ενός συζύγου που αρνιόταν ότι είχε σχέσεις με τη γυναίκα που έραβε τους χιτώνες της συζύγου του θα αποδεικνυόταν όχι από την ικανότητά του να αντέξει την πιεστική εξέταση του ευέξαπτου συνηγόρου της αντιδίκου, αλλά από το αν θα παρέμενε πιστός στην εκδοχή του ακόμη και μετά από βασανιστήρια – με πυρωμένο σίδερο. (Ας επανέλθει αυτός ο θεσμός και θα δείτε πολύ περισσότερα διαζύγια να διευθετούνται εξωδικαστικά.)
Αντικαθιστώντας, ή τουλάχιστον συμπληρώνοντας, την πρακτική της εκδίκασης μιας υπόθεσης μέσω μάχης, οι Ρωμαίοι προσπάθησαν να θεραπεύσουν μέσω της μαθηματικής ακρίβειας τις ανεπάρκειες του παλαιού, αυθαίρετου συστήματος τους. Ιδωμένη υπό αυτό το πρίσμα, η ρωμαϊκή αντίληψη περί δικαίου χρησιμοποίησε διανοητικά προχωρημένες έννοιες. Αναγνωρίζοντας ότι τα αποδεικτικά στοιχεία και οι καταθέσεις των μαρτύρων παρουσιάζουν συχνά αντιφάσεις, και ότι ο καλύτερος τρόπος για να λυθούν τέτοιες αντιφάσεις είναι να ποσοτικοποιηθεί η αναπόφευκτη αβεβαιότητα, οι Ρωμαίοι επινόησαν την έννοια της ημιαπόδειξης, η οποία εφαρμοζόταν σε περιπτώσεις όπου δεν υπήρχαν αδιάσειστοι λόγοι για την αποδοχή ή απόρριψη των αποδεικτικών στοιχείων ή των μαρτυρούν. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το ρωμαϊκό δόγμα περί αποδεικτικών στοιχείων περιελάμβανε ακόμη πιο λεπτές διαβαθμίσεις απόδειξης, όπως στο εκκλησιαστικό διάταγμα που όριζε ότι “ένας επίσκοπος δεν μπορεί να καταδικαστεί παρά μόνο αν υπάρχουν εβδομήντα δύο μάρτυρες… ένας καρδινάλιος δεν μπορεί να καταδικαστεί παρά μόνο αν υπάρχουν σαράντα τέσσερεις μάρτυρες, ένας καρδινάλιος διάκονος της Ρώμης εάν δεν υπάρχουν τριάντα έξι μάρτυρες, ένας υποδιάκονος, ένας ακόλουθος ιερέα, ένας εξορκιστής, ένας αναγνώστης ή ένας θυρωρός της εκκλησίας εάν δεν υπάρχουν επτά μάρτυρες”. Για να καταδικαστεί κανείς με βάση αυτούς τους κανόνες, θα έπρεπε όχι μόνο να έχει διαπράξει το έγκλημα αλλά να έχει πουλήσει και εισιτήρια για το θέαμα. Παρόλα αυτά, η αναγνώριση του ότι οι πιθανότητες να αληθεύει μια μαρτυρία ενδέχεται να ποικίλλουν κατά περίπτωση και ότι είναι
αναγκαίο να υπάρχουν κάποιοι κανόνες για τον συνδυασμό τέτοιων πιθανοτήτων ήταν μια αρχή. Έτσι, η αρχαία Ρώμη υπήρξε -αναπάντεχα- το μέρος όπου δημιουργήθηκε για πρώτη φορά ένα συστηματικό σύνολο κανόνων που βασίζονταν στην έννοια των πιθανοτήτων.
Δυστυχώς, είναι δύσκολο να χειριστεί κανείς επιδέξια αριθμητικές ποσότητες όταν έχει να κάνει με VΙΙΙ και XIV. Τελικά, παρόλο που το ρωμαϊκό δίκαιο ήταν ως έναν βαθμό νομικά ορθολογικό και συνεπές, υστερούσε σε μαθηματική εγκυρότητα. Για παράδειγμα, στο ρωμαϊκό δίκαιο δύο ημιαποδείξεις ισοδυναμούσαν με μια πλήρη απόδειξη· Αυτό ίσως να ακούγεται λογικό σε κάποιον που δεν έχει συνηθίσει να σκέφτεται σε ποσοτικό πλαίσιο, σήμερα όμως που είμαστε εξοικειωμένοι με τα κλάσματα η παραπάνω παραδοχή οδηγεί στο εξής ερώτημα: αν δύο ημιαποδείξεις συνιστούν μια πλήρη βεβαιότητα, τότε με τι ισοδυναμούν τρεις ημιαποδείξεις; Σύμφωνα με τον ορθό τρόπο σύνθεσης των πιθανοτήτων, όχι μόνο δύο ημιαποδείξεις δίνουν κάτι λιγότερο από πλήρη βεβαιότητα, αλλά επιπλέον, αν αθροίσουμε έναν πεπερασμένο αριθμό μερικών αποδείξεων, το αποτέλεσμα δεν θα ισούται ποτέ με πλήρη βεβαιότητα, διότι για να συνθέσουμε πιθανότητες δεν τις προσθέτουμε, αλλά τις πολλαπλασιάζουμε.
Αυτό μας οδηγεί στον επόμενο νόμο, που διέπει τη σύνθεση των πιθανοτήτων: Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε η πιθανότητα, να. πραγματοποιηθούν και τα δύο ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων να. πραγματοποιηθεί το καθένα από αυτά. Ας υποθέσουμε ότι ένα έγγαμο άτομο έχει, κατά μέσο όρο, 1 περίπου πιθανότητα στις 50 να πάρει διαζύγιο κάθε χρόνο. Από την άλλη, ένας αστυνομικός έχει περίπου 1 πιθανότητα στις 5000 να σκοτωθεί κατά την εκτέλεση του καθήκοντος κάθε χρόνο. Ποια είναι η πιθανότητα ένας έγγαμος αστυνομικός να πάρει διαζύγιο και να σκοτωθεί μέσα στον ίδιο χρόνο: Σύμφωνα με την παραπάνω αρχή, αν αυτά τα δύο ενδεχόμενα ήταν ανεξάρτητα, η πιθανότητα αυτή θα ήταν 1/50 Χ 1/5000, δηλαδή 1/250.000 · Φυσικά τα ενδεχόμενα δεν είναι ανεξάρτητα, αλλά συνδέονται μεταξύ τους: αν κάποιος πεθάνει, δεν μπορεί -διάολε- να πάρει μετά διαζύγιο. Συνεπώς, η πιθανότητα μιας τόσο μεγάλης κακοτυχίας είναι στην πραγματικότητα κάτι λιγότερο από 1 στις 250.000.
Γιατί όμως πολλαπλασιάζουμε αντί να προσθέτουμε; Ας υποθέσουμε ότι φτιάχνετε ένα πακέτο από κάρτες με τις φωτογραφίες των 100 ανδρών που έχετε γνωρίσει μέχρι σήμερα μέσω της ιστοσελίδας γνωριμιών στην οποία συμμετέχετε, δηλαδή τους άνδρες εκείνους που στη φωτογραφία που έχουν αναρτήσει στο διαδίκτυο συχνά μοιάζουν με τον Τομ Κρουζ. αλλά εκ του σύνεγγυς φέρνουν συχνότερα προς τον Ντάννυ ΝτεΒίτο. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι στο πίσω μέρος της κάθε κάρτας έχετε καταγράψει ορισμένα στοιχεία γι’ αυτούς, δηλαδή χαρακτηριστικά όπως «έντιμος» (ναι ή όχι) και «ελκυστικός» (ναι ή όχι). Τέλος, ας υποθέσουμε ότι 1 στους 10 άνδρες, αυτές τις εν δυνάμει αδελφές ψυχές, έχει αξιολογηθεί με «ναι» σε ένα από τα δύο χαρακτηριστικά. Πόσα άτομα από τα 100 της συλλογής σας θα περάσουν επιτυχώς τη δοκιμασία και για τα δύο χαρακτηριστικά; Ας ξεκινήσουμε από το χαρακτηριστικό «έντιμος» (θα μπορούσαμε κάλλιστα να ξεκινήσουμε από το «ελκυστικός»).
Αφού 1 στις 10 κάρτες έχουν “ναι” όσον αφορά το χαρακτηριστικό «έντιμος», οι 10 από τις 100 κάρτες μάς κάνουν. Από αυτούς τους 10 άνδρες πόσοι είναι ελκυστικοί; Και πάλι 1 στους 10, άρα παραμένει μόνο 1 κάρτα. Το πρώτο 1 στα 10 μειώνει την πιθανότητα σε 1/10 – το ίδιο κάνει και το δεύτερο 1 στα 10, οπότε το τελικό αποτέλεσμα είναι 1 κάρτα στις 100. Αυτός είναι ο λόγος που πολλαπλασιάζουμε. Αν τώρα έχετε κι άλλες απαιτήσεις πέρα από την εντιμότητα και την ελκυστικότητα, θα πρέπει να συνεχίσετε να πολλαπλασιάζετε, οπότε… καλή τύχη.
Προτού συνεχίσουμε, θα πρέπει να τονίσουμε μια σημαντική λεπτομέρεια: τη φράση αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα.
Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η σύνθετη πιθανότητα ισούται με το γινόμενο των απλών μόνο στην περίπτωση που δεν υπάρχει κανενός είδους συνάφεια μεταξύ των δύο ενδεχομένων.
Υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες οι πιθανότητες πρέπει να προστίθενται, και αυτό είναι το αντικείμενο του επόμενου νόμου μας. Ο νόμος αυτός αφορά την περίπτωση που θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο ή ένα άλλο ενδεχόμενο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, όπου θέλαμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν δύο ενδεχόμενα ταυτόχρονα. Ο νόμος είναι ο εξής: Αν μια κατάσταση μπορεί να έχει πάνω από μία διαφορετικές και διακριτές μεταξύ τους πιθανές εκβάσεις Α, Β. Γ. κ.ο.κ.. τότε η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί η έκβαση Α ή η έκβαση Β ισούται με το άθροισμα των μεμονωμένων πιθανοτήτων των εκβάσεων Α και Β, ενώ το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών εκβάσεων (δηλαδή των A. Β, Γ, κ.ο.κ.) ισούται με 1 (δηλαδή με 100%). Όταν θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν αμφότερα δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α και Β, πολλαπλασιάζετε· όταν θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα Α και Β, προσθέτετε.
Αυτοί είναι οι τρεις νόμοι, (μαζί με τον πρώτο νόμο των πιθανοτήτων που είναι βασικός: Ή πιθανότητα να συμβούν δύο ενδεχόμενα δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να συμβεί το καθένα από αυτά ξεχωριστά. Πώς εξηγείται αυτό; Είναι απλή αριθμητική: η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α = η πιθανότητα να συμβούν τα ενδεχόμενα Α και Β + η πιθανότητα να συμβεί το Α και να μη συμβεί το Β), παρότι εξαιρετικά απλοί αποτελούν ουσιαστικά τη βάση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Αν εφαρμοστούν σωστά, μπορούν να διαφωτίσουν σε μεγάλο βαθμό τον τρόπο λειτουργίας της φύσης και της καθημερινής ζωής. Τους εφαρμόζουμε συνεχώς στις καθημερινές μας διαδικασίες λήψης αποφάσεων. Όμως, όπως και οι Ρωμαίοι νομοθέτες, δεν τους εφαρμόζουμε πάντα σωστά.
Μέρος Α’: http://www.lecturesbureau.gr/1/the-laws-of-truth-and-half-of-truth-part-a-1032a/
ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΜΕΘΥΣΜΕΝΟΥ
LEONARD MLODINOW
ΕΚΔΟΣΕΙΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ SCI-CLOPEDIA
Εικόνα: http://sacredgeometrytattoos.tumblr.com/post/136302117960/svartxvit-impossible-to-catch-a-good-shot-but-u
