Η κωδωνοειδής καμπύλη (ή καμπύλη του Gauss). (LECTURES BUREAU)

Η κωδωνοειδής καμπύλη (ή καμπύλη του Gauss). (LECTURES BUREAU)

Θα εξηγήσουμε παρακάτω τι είναι η κωδωνοειδής καμπύλη (κατανομή Gauss). Εάν πάρουμε ένα μεγάλο και σωστά επιλεγμένο δείγμα πληθυσμού και το μετρήσουμε ως προς διάφορες παραμέτρους, όπως το ύψος, για παράδειγμα, των ενηλίκων Ελλήνων, ή το βάρος των Ελληνίδων (και λέγοντας σωστά επιλεγμένο, εννοούμε ότι δεν θα μετρήσουμε μόνο παίκτες του μπάσκετ – μπολ ή νεαρές κοπέλες που προσέχουν τη σιλουέτα τους) θα παρατηρήσουμε ότι οι περισσότερες μετρήσεις μας συγκεντρώνονται γύρω από μια τιμή, λ.χ. τα 1,75μ. ύψους και τα 55 κιλά βάρους, αντιστοίχως. Όσο περισσότερο απομακρυνόμαστε από αυτές τις τιμές, είτε προς τα πάνω, είτε προς τα κάτω, όλο και λιγότερα άτομα του δείγματός μας θα δίνουν τις πιο ακραίες μετρήσεις. Λίγοι Έλληνες έχουν ύψος πάνω από 1,90μ. και ακόμη λιγότεροι είναι οι δίμετροι. Επίσης, λίγες ενήλικες Ελληνίδες ζυγίζουν κάτω από 45 κιλά και ακόμη λιγότερες κάτω από 40. Η απόκλιση αυτή από τη μέση τιμή δίνει όλο και λιγότερες ακραίες τιμές με έναν ομαλό τρόπο, με την προϋπόθεση πάντα ότι το δείγμα μας είναι σωστά επιλεγμένο και ικανοποιητικού μεγέθους. (Φυσικά, αναφερόμαστε σε ορισμένα παραδείγματα. Δεν είναι πάντα απαραίτητο να συμβαίνει το ίδιο. Έτσι λ.χ. στην κατανομή του βαθμού σε “κακές χρονιές” των πανελληνίων εξετάσεων, οι περισσότεροι συγκεντρώνονται στο κάτω άκρο και αρκετοί στο άνω – όσοι κράτησαν το βαθμό τους από την προηγούμενη, “εύκολη”, ίσως, χρονιά.)
Αυτή η “κανονική μείωση”, δημιουργεί τη λεγόμενη καμπύλη κανονικής κατανομής ή καμπύλη του Gauss, από το όνομα του μαθηματικού που ανέπτυξε τη σχετική θεωρία, και έχει το σχήμα της καμπάνας (κώδωνα). Η ίδια λοιπόν κωδωνοειδής καμπύλη σχηματίζεται και όταν κατανέμουμε το γενικό πληθυσμό (και όχι αποκλειστικά π.χ. τα μέλη της MENSA, της παγκόσμιας οργάνωσης των “έξυπνων” ή άτομα με το σύνδρομο Down), σύμφωνα π.χ. με το νοητικό πηλίκο.
Όπως παρατηρείτε, στην καμπύλη που παραθέτουμε, αυτή ανυψώνεται όσο πλησιάζουμε στο μέσον, είτε από δεξιά, είτε από αριστερά, ακριβώς γιατί οι περισσότεροι άνθρωποι εμπίπτουν χονδρικά στον μέσο όρο. Αντιθέτως, τα άκρα είναι πεπλατυσμένα, διότι λίγοι είναι οι εξαιρετικά ευφυείς κι επίσης λίγα είναι τα καθυστερημένα άτομα, σε σύγκριση με το σύνολο του πληθυσμού. Το πόσο ύψος θα έχει η καμπύλη στο μέσον και το πόσο χαμηλή θα είναι στα άκρα, δηλαδή η κύρτωσή της (που αποτελεί ξεχωριστό στατιστικό δείκτη), εξαρτάται και από το πόσο κανονική είναι η κατανομή.

Η κωδωνοειδής καμπύλη (κατανομή Gauss). Όπως φαίνεται, τα περισσότερα άτομα, συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή, που για το I.Q. είναι το 100. Όσο πιο πολύ αποκλίνουμε από αυτή, τόσο λιγοστεύουν οι άνθρωποι που ανήκουν στις όλο και πιο ακραίες κατηγορίες, καθυστερημένοι ή ευφυείς (Παρασκευόπουλος, 1984).

Μία από τις πρώτες εφαρμογές της κανονικής κατανομής, έγινε το 1809 από τον μεγάλο Γερμανό Μαθηματικό Carl F. Gauss, ο οποίος διαπίστωσε ότι τα σφάλματα που γίνονται σε αστρονομικές παρατηρήσεις μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Στη συνέχεια, διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα τυχαία σφάλματα (όχι τα συστηματικά) που εμφανίζονται σε διάφορες μετρήσεις ακολουθούν με ικανοποιητική προσέγγιση κανονική κατανομή. Για το λόγο αυτό, η κανονική κατανομή ονομάζεται και κατανομή των σφαλμάτων (law of errors). Επίσης, είναι γνωστή ως κατανομή του Gauss (Gaussian distribution), για τη μεγάλη συνεισφορά του Gauss στην ανάδειξη των ιδιοτήτων και της σημασίας της. Τέλος, ως πρόσθετη σχετική πληροφορία , αναφέρουμε ότι στο γερμανικό χαρτονόμισμα των δέκα μάρκων υπήρχαν, φωτογραφία του Gauss, η κανονική καμπύλη και ο μαθηματικός τύπος της!!

Αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος και κατασκευάζοντας το ιστόγραμμα με ολοένα και μικρότερου πλάτους κλάσεις ( c → 0 ), το αντίστοιχο πολύγωνο προσεγγίζει μια ομαλή-λεία καμπύλη. Η κανονική καμπύλη έχει κωδωνοειδή μορφή, είναι συμμετρική και οι «ουρές» της πλησιάζουν τον οριζόντιο άξονα ομαλά (ασυμπτωτικά). Η μέση τιμή και η διάμεσος ταυτίζονται. Επίσης, η κορυφή ταυτίζεται με τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Έτσι, η περιοχή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη πυκνότητα, βρίσκεται και αυτή στο μέσο της κατανομής. Δηλαδή, όταν οι τιμές μιας μεταβλητής είναι κανονικά κατανεμημένες, τότε γύρω από τη μέση τιμή τους υπάρχουν σχετικά πολλές τιμές ενώ μακριά από τη μέση τιμή βρίσκονται σχετικά λίγες τιμές.

 

 

 

 

 
ΠΗΓΕΣ: 1.www.braining.gr
2. www.aua.gr/gpapadopoulos/files/normal010-2.pdf

 

 

Εικόνα Α: https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&biw=1920&bih=957&tbm=isch&sa=1&ei=KJlxXPqPKtCSa9PTjIgO&q=gaussian+curve+surreal&oq=gaussian+curve+surreal&gs_l=img.3…72889.74283..74765…0.0..0.226.1487.0j5j3……1….1..gws-wiz-img…….0j0i8i30j0i24.a9sDzq-Q-ZU#imgrc=_BQZXoSODKNsZM:

Εικόνα Β: www.braining.gr

Εικόνα Γ: www.aua.gr/gpapadopoulos/files/normal010-2.pdf[/vc_column_text][/vc_column][/vc_row]



Facebook

Instagram

Follow Me on Instagram
  • All my life I've looked at words as though I were seeing them for the first time .

    lecturesbureau: "All my life I've looked at words
as though I were seeing them for the first time ."
    6
    0
  • Medicine heals deseases of the body wisdom frees the soul from passions .

    lecturesbureau: "Medicine heals deseases of the body
wisdom frees the soul from passions ."
    472
    1
  • It does not matter how slowly you go so long as you do not stop .

    lecturesbureau: "It does not matter how slowly you go 
so long as you do not stop ."
    342
    2
  • A book read by a thousand different people is a thousand different books .

    lecturesbureau: "A book read by a thousand different people
is a thousand different books ."
    554
    0
  • Our chief want is someone who will inspire us to be WHAT WE KNOW WE COULD BE .

    lecturesbureau: "Our chief want is someone who will inspire us
to be WHAT WE KNOW WE COULD BE ."
    259
    2
  • The bee discovers amid the most pungent flowers and the roughest thorns the smoothest and most palatable honey .

    lecturesbureau: "The bee discovers amid the most pungent flowers
and the roughest thorns
the smoothest and most palatable honey ."
    102
    0
  • Without joy in our heart , our progress in life is slow and uninteresting .

    lecturesbureau: "Without joy in our heart ,
our progress in life 
is slow and uninteresting ."
    214
    0
  • The beauty doesn't make happy the owner , but the one who can love and admire her .

    lecturesbureau: "The beauty doesn't make happy the owner ,
but the one who can love and admire her ."
    908
    1
  • Man is nothing else but what he makes of himself .

    lecturesbureau: "Man is nothing else
but what he makes of himself ."
    406
    1
  • An honest man is always a child !

    lecturesbureau: "An honest man is always a child !"
    411
    2