26 Δεκ “Ενα μικρό προβληματάκι που μας μπερδεύει υπέροχα” (LEONARD MLODINOW) | Μέρος Β’
Στο πρόβλημα βρίσκεστε μπροστά σε τρεις πόρτες: πίσω από τη μια πόρτα υπάρχει ένα αντικείμενο μεγάλης αξίας, για παράδειγμα μια αστραφτερή κόκκινη Μαζεράτι. Πίσω από τις δύο άλλες πόρτες βρίσκεται κάτι όχι και τόσο ενδιαφέρον, ας πούμε τα άπαντα του Σαίξπηρ στα σερβικά. Έχετε επιλέξει την πόρτα 1. Ο δειγματικός χώρος στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η παρακάτω λίστα, η οποία περιλαμβάνει τρεις δυνατές εκβάσεις:
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 1.
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 2.
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 3.
Καθένα από τα τρία αυτά ενδεχόμενα έχει πιθανότητα 1 στις 3. Λογικά, οι περισσότεροι άνθρωποι προτιμούν τη Μαζεράτι, επομένως στην πρώτη περίπτωση κερδίζετε, και η πιθανότητα να έχετε μαντέψει σωστά είναι 1 στις 3.
Στη συνέχεια, σύμφωνα με το πρόβλημα, ο παρουσιαστής, ο οποίος γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από όλες τις πόρτες, ανοίγει μια από αυτές που δεν επιλέξατε, πίσω από την οποία αποκαλύπτεται μια από τις συλλογές με τα άπαντα του Σαίξπηρ. Ο παρουσιαστής ανοίγει τη συγκεκριμένη πόρτα χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που γνωρίζει έτσι ώστε να μην αποκαλύψει τη Μαζεράτι – συνεπώς, δεν πρόκειται για μια εντελώς τυχαία διεργασία. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξετάσουμε.
Η μια είναι η περίπτωση όπου η αρχική σας επιλογή ήταν σωστή. Ας ονομάσουμε αυτό το σενάριο “τυχερή μαντεψιά” ή απλά “ευτυχές” σενάριο. Σε αυτή την περίπτωση, ο τηλεπαρουσιαστής θα ανοίξει στην τύχη την πόρτα 2 ή την πόρτα 3 και, αν επιλέξετε να αλλάξετε πόρτα, αντί για μια γρήγορη και συναρπαστική βόλτα με τη Μαζεράτι θα βρεθείτε να είστε κάτοχος της τραγωδίας Τρωίλος και Χρυσηίδα στην τορλακική διάλεκτο. Συνεπώς, στο ευτυχές σενάριο σας συμφέρει να μην αλλάξετε την αρχική σας επιλογή – μην ξεχνάτε όμως ότι η πιθανότητα αυτού του σεναρίου είναι μόνο 1 στις 3.
Η άλλη περίπτωση που πρέπει να εξετάσουμε είναι αυτή όπου η αρχική σας επιλογή ήταν λάθος.
Ας ονομάσουμε αυτό το σενάριο “λανθασμένη μαντεψιά” ή απλά “ατυχές σενάριο”. Η πιθανότητα να έχετε κάνει λάθος επιλογή είναι 2 στις 3, συνεπώς το ατυχές σενάριο έχει διπλάσια πιθανότητα να συμβεί σε σχέση με το ευτυχές.
Σε τι διαφέρει το ατυχές σενάριο από το ευτυχές;
Στο ατυχές σενάριο η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από μια πόρτα την οποία δεν επιλέξατε, ενώ πίσω από την άλλη πόρτα που δεν επιλέξατε βρίσκεται η σερβική έκδοση του Σαίξπηρ.
Σε αντίθεση με το ευτυχές σενάριο, τώρα ο τηλεπαρουσιαστής δεν ανοίγει τυχαία μια από τις πόρτες που δεν έχουν επιλεγεί. Αφού δεν θέλει να αποκαλύψει την Μαζεράτι, επιλέγει να ανοίξει την πόρτα που δεν έχει πίσω της το αυτοκίνητο. Με άλλα λόγια, στο ατυχές σενάριο ο τηλεπαρουσιαστής παρεμβαίνει σε αυτό που μέχρι στιγμής ήταν μια τυχαία διαδικασία.
Συνεπώς η διαδικασία δεν είναι πια τυχαία: ο τηλεπαρουσιαστής χρησιμοποιεί την γνώση του για να επηρεάσει το αποτέλεσμα και παραβιάζει την τυχαιότητα διασφαλίζοντας ότι, αν αλλάξετε την επιλογή σας, θα πάρετε το λαμπερό κόκκινο αυτοκίνητο. Εξαιτίας αυτής παρέμβασης, αν βρεθείτε στην περίπτωση του ατυχούς σεναρίου, θα κερδίσετε αν αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και θα χάσετε αν δεν το κάνετε.
Ας συνοψίσουμε: αν βρίσκεστε στο ευτυχές σενάριο (πιθανότητα 1 στις 3), θα κερδίσετε αν μείνετε σταθερός στην αρχική σας επιλογή. Αν βρίσκεστε στο ατυχές σενάριο (πιθανότητα 2 στις 3), λόγω των ενεργειών του τηλεπαρουσιαστή, θα κερδίσετε αν αλλάξετε την αρχική σας επιλογή.
Συνεπώς, για να πάρετε μια απόφαση πρέπει ουσιαστικά να μαντέψετε το εξής: σε ποιο σενάριο βρίσκεστε;
Αν έχετε την αίσθηση ότι η αρχική σας επιλογή καθοδηγήθηκε από εξωαισθητηριακή αντίληψη ή από τη μοίρα, ίσως δεν πρέπει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή. Όμως η πιθανότητα να βρίσκεστε στο ατυχές σενάριο σε σχέση με το ευτυχές είναι 2 προς 1, συνεπώς σας συμφέρει να αλλάξετε – εκτός εάν έχετε την ικανότητα να λυγίζετε ασημένια κουταλάκια σε σχήμα κουλουριού χρησιμοποιώντας τα εγκεφαλικά σας κύματα, Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και από τα στατιστικά στοιχεία που έχουν προκύψει από την ίδια την τηλεοπτική εκπομπή: αυτοί που βρίσκονταν στην κατάσταση που περιγράφεται σε αυτό το πρόβλημα και άλλαζαν την αρχική τους επιλογή κέρδιζαν δύο φορές συχνότερα από εκείνους που δεν άλλαζαν.
Το πρόβλημα είναι αρκετά δυσνόητο διότι, αν δεν το σκεφτείτε με προσοχή, δεν μπορείτε να εκτιμήσετε τον ρόλο του τηλεπαρουσιαστή, όπως δεν εκτιμάτε και τον ρόλο της μαμάς σας.
Όμως ο τηλεπαρουσιαστής είναι αυτός που καθορίζει την πορεία του παιχνιδιού.
Ο ρόλος του θα γίνει περισσότερο εμφανής αν υποθέσουμε ότι αντί για 3 πόρτες υπάρχουν 100. Εσείς επιλέγετε και πάλι τη πόρτα 1, αλλά αυτή τη φορά η πιθανότητα να έχετε επιλέξει τη σωστή πόρτα είναι 1 στις 100. Εν τω μεταξύ, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από μια από τις άλλες πόρτες είναι 99 στις 100.
Όπως και πριν, ο τηλεπαρουσιαστής ανοίγει όλες τις πόρτες που δεν επιλέξατε εκτός από μία, φροντίζοντας πάντα να μην ανοίξει εκείνη που κρύβει τη Μαζεράτι, αν είναι μια από τις μη επιλεγμένες. Αφού τελειώσει, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από την πόρτα που επιλέξατε εξακολουθεί να είναι 1 στις 100, και η πιθανότητα να βρίσκεται σε μια από τις άλλες πόρτες είναι και πάλι 99 στις 100. Όμως τώρα, λόγω της παρέμβασης του τηλεπαρουσιαστή, έχει απομείνει μια μόνο πόρτα που αντιπροσωπεύει αυτές τις άλλες 99 πόρτες. Συνεπώς, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από αυτή την πόρτα που απέμεινε είναι 99 στις 100!
Το συγκεκριμένο πρόβλημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά (με άλλη ονομασία) μόλις το 1959, σ’ ένα άρθρο που δημοσίευσε ο Μάρτιν Γκάρντνερ στο Scientific American.
Ο Γκάρντνερ είχε γράψει πως πρόκειται για “ένα μικρό προβληματάκι που μας μπερδεύει υπέροχα”, επισημαίνοντας ότι “σε κανέναν άλλο κλάδο των μαθηματικών δεν είναι τόσο εύκολο να κάνουν γκάφες οι ειδικοί όσο στη θεωρία των πιθανοτήτων”
Μέρος Α’: http://www.lecturesbureau.gr/1/a-wonderfully-confusing-little-problem-part-a-1082/
ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΟΥ
ΜΕΘΥΣΜΕΝΟΥ
(Πως η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας)
LEONARD MLODINOW
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
ΚΡΗΤΗΣ SCI – CLOPEDIA
